確率の基本と余事象の使い方【場合の数と確率】

1. 確率とは

確率とは、あるできごと(事象)が起こる可能性を数値で表したものです。すべての結果が同じ確からしさで起こるとき、事象 $A$ が起こる確率は次の式で求められます。

P(A) = \frac{n(A)}{n(U)} = \frac{\text{事象 } A \text{ が起こる場合の数}}{\text{起こりうるすべての場合の数}}

ここで $n(U)$ は全事象(起こりうるすべての結果)の場合の数、 $n(A)$ は事象 $A$ に含まれる場合の数です。場合の数を数えるときは、順列と組合せの違いと公式で紹介した $_nC_r$ などがそのまま活躍します。

1個のさいころを1回投げるとき、偶数の目が出る確率を求めなさい。

全事象は $1,2,3,4,5,6$ の6通りで、偶数の目は $2,4,6$ の3通りです。

P(\text{偶数}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

事象 $A$ が「起こらない」事象を、 $A$ の余事象といい $\overline{A}$ と表します。事象 $A$ が起こるか起こらないかのどちらか一方は必ず成り立つので、次の関係が成り立ちます。

P(A) + P(\overline{A}) = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad P(A) = 1 - P(\overline{A})

「少なくとも1回〜」「少なくとも1つ〜」のように、条件を満たすパターンがたくさんあって直接数えるのが大変な場合、余事象(「1回も〜ない」)の確率を求めてから $1$ から引くほうがずっと簡単になることが多くあります。

（本文中への画像挿入案: /images/math-a/kakuritsu-kihon-yojisho.png、alt=「事象Aとその余事象の関係を示したベン図」をこのセクションの下に配置すると、AとAの余事象で全体を分け合う関係が伝わりやすくなります。)

硬貨を3回投げるとき、少なくとも1回は表が出る確率を求めなさい。

「少なくとも1回表が出る」場合をそのまま数えるのは大変なので、余事象「3回とも裏が出る」を考えます。

P(\text{3回とも裏}) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}

よって、求める確率は、

P(\text{少なくとも1回表}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}

2つ以上の試行が、互いに他方の結果に影響を与えないとき、これらを独立な試行といいます。独立な試行がどちらも起こる確率は、それぞれの確率の積で求められます。

さいころを2回投げるとき、2回とも6の目が出る確率を求めなさい。

1回目と2回目のさいころの出目は互いに影響しないので独立試行です。

P(\text{2回とも6}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}

さいころを2回投げて、少なくとも1回は6の目が出る確率を求めなさい。
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  正解: $\dfrac{11}{36}$ 。余事象「2回とも6以外」の確率は $\left(\dfrac{5}{6}\right)^2=\dfrac{25}{36}$ なので、 $1-\dfrac{25}{36}=\dfrac{11}{36}$ 。
余事象を使うと計算が簡単になるのはどのような問題か、理由もあわせて説明しなさい。
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  正解: 「少なくとも〜」のように直接数えるとパターンが多い問題。全体の確率が $1$ であることを利用し、「一度も起こらない」余事象の確率を求めて $1$ から引くほうが、場合分けが少なく計算しやすいため。