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順列と組合せの違いと公式(nPr・nCr)をわかりやすく解説

公開日: 2026/7/9

📐 公式まとめ

  • 2. 階乗(!)の意味

    n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1

  • 3. 順列の公式 nPr

    nPr=n!(n−r)!=n×(n−1)×⋯×(n−r+1)_n P_r = \frac{n!}{(n-r)!} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)

  • 4. 組合せの公式 nCr

    nCr=nPrr!=n!r!(n−r)!_nC_r = \frac{{}_nP_r}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}

1. 順列と組合せの違い

順列と組合せは、どちらも「複数のものからいくつか選ぶ場合の数」を求めるための考え方ですが、決定的な違いがあります。

  • 順列: 選んだ後の順序を区別する(例: 1位・2位・3位を決める)
  • 組合せ: 選んだ後の順序を区別しない(例: 3人を選ぶだけ)

同じ「n個からr個選ぶ」問題でも、並べ方まで気にするかどうかで公式も答えの数も変わってくるので、まず問題文が「順序を考える設定か」を判断することが重要です。

2. 階乗(!)の意味

順列・組合せの公式には階乗という記号がよく登場します。n!n!(エヌの階乗)は、11 から nn までの整数をすべてかけ合わせたものです。

n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1

例えば 5!=5×4×3×2×1=1205! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120 です。なお 0!=10! = 1 と定義されています。

3. 順列の公式 nPr

異なる nn 個のものから rr 個を選んで順序をつけて並べる場合の数は、次の式で求められます。

nPr=n!(n−r)!=n×(n−1)×⋯×(n−r+1)_n P_r = \frac{n!}{(n-r)!} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)

3.1. 例題1: 順列を求める

5人の中から3人を選んで1列に並べる方法は何通りあるか求めなさい。

順序を区別するので順列を使います。

5P3=5×4×3=60(通り)_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60 \text{(通り)}

4. 組合せの公式 nCr

異なる nn 個のものから rr 個を順序を考えずに選ぶ場合の数は、次の式で求められます。

nCr=nPrr!=n!r!(n−r)!_nC_r = \frac{{}_nP_r}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}

順列の式を、選んだ rr 個の並べ方 r!r! で割ることで、順序の違いを打ち消しています。

4.1. 例題2: 組合せを求める

5人の中から3人を選ぶ方法(順序は考えない)は何通りあるか求めなさい。

5C3=5!3!×2!=5×42×1=10(通り)_5C_3 = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{5\times4}{2\times1} = 10 \text{(通り)}

順列 5P3=60_5P_3=60 と比べると、3!=63!=6 分の1になっていることがわかります。これは、選ばれた3人の並べ方が 3!=63!=6 通りずつ重複してカウントされていたためです。

5. 順列と組合せの使い分け方

問題文に次のようなキーワードがあるかどうかで判断すると迷いにくくなります。

  • 「1列に並べる」「順位をつける」「会長・副会長のように役割が違う」→ 順列
  • 「選ぶだけ」「グループを作る」「代表を決める(役割の区別なし)」→ 組合せ

（本文中への画像挿入案: /images/math-a/junretsu-kumiawase-hikaku.png、alt=「順列と組合せの違いを表した樹形図」をこのセクションの下に配置すると、同じ3人でも並べ方の数が異なることが視覚的に伝わりやすくなります。)

5.1. 例題3: 応用問題

8人の中から実行委員を3人選ぶ場合の数と、8人の中から会長・副会長・書記を1人ずつ選ぶ場合の数をそれぞれ求めなさい。

実行委員3人は役割の区別がないので組合せです。

8C3=8!3!×5!=8×7×63×2×1=56(通り)_8C_3 = \frac{8!}{3!\times5!} = \frac{8\times7\times6}{3\times2\times1} = 56 \text{(通り)}

会長・副会長・書記は役割(順序)が区別されるので順列です。

8P3=8×7×6=336(通り)_8P_3 = 8\times7\times6 = 336 \text{(通り)}

なお、選んだ人数を数える先の考え方は 確率の基本と余事象の使い方 でもそのまま使うので、あわせて確認しておくと理解が深まります。

6. クイズ

  1. 6人の中から代表2人を選ぶ(順序は考えない)場合の数を求めなさい。

    • 答えを見る正解: 6C2=6×52×1=15_6C_2 = \dfrac{6\times5}{2\times1} = 15 通り。

  2. 6人の中から会長・副会長を1人ずつ選ぶ(順序を区別する)場合の数を求めなさい。

    • 答えを見る正解: 6P2=6×5=30_6P_2 = 6\times5 = 30 通り。同じ2人を選ぶ問題でも、役割の区別があると組合せの2倍(2!2! 倍)になります。
#順列#組合せ#場合の数