円順列と重複順列【円形配列・重複あり順列の公式】

場合の数の単元では、通常の順列（一列に並べる）の他に、円順列（円形に並べる）と重複順列（同じものを繰り返し使う）という2つの重要な考え方があります。それぞれの公式と考え方をしっかり理解しましょう。

1. 円順列とは

1.1. 円順列の考え方

通常の順列では、A・B・Cの3人を一列に並べると $3! = 6$ 通りあります。

しかし、円形のテーブルに座る場合、「A・B・C」と「B・C・A」と「C・A・B」はすべて回転すると同じ配置になります。このように、回転して同じになる並びを1つと数えるのが円順列です。

1.2. 円順列の公式

(n-1)!

$n$ 個のものを円形に並べる場合の数は $(n-1)!$ 通りです。

なぜ $(n-1)!$ になるのか？

円形に並べるとき、1人（1つ）を固定して考えます。残りの $(n-1)$ 人を一列に並べる方法が $(n-1)!$ 通りあるため、円順列の総数は $(n-1)!$ になります。

人数 $n$	一列の順列 $n!$	円順列 $(n-1)!$
3	6	2
4	24	6
5	120	24
6	720	120

2. 円順列の例題

2.1. 例題1：5人の円形配置

問題： 5人を円形のテーブルに座らせるとき、何通りの並べ方があるか。

解答：

1人を固定し、残り4人を並べると考えます。

(5-1)! = 4! = 24 \text{ 通り}

2.2. 例題2：男女混合の円形配置

問題： 男子3人、女子2人の計5人を円形に並べるとき、男子3人が連続して並ぶ並べ方は何通りか。

解答：

男子3人を1つのかたまりとして考えます。このかたまりと女子2人の合計3つを円形に並べると：

(3-1)! = 2! = 2 \text{ 通り}

さらに、かたまりの中で男子3人が並ぶ方法は：

3! = 6 \text{ 通り}

したがって、合計は：

2 \times 6 = 12 \text{ 通り}

3. 重複順列とは

3.1. 重複順列の考え方

通常の順列では、同じものを2回以上使うことができません。しかし重複順列では、同じものを繰り返し使うことができます。

例えば、{1, 2, 3} の3つの数字から重複を許して 2桁の数を作る場合、通常の順列では $3 \times 2 = 6$ 通りですが、重複順列では $3 \times 3 = 9$ 通りになります（11, 22, 33 なども含む）。

3.2. 重複順列の公式

n^r

$n$ 個のものから重複を許して $r$ 個を取り出して並べる場合の数は $n^r$ 通りです。

考え方：

1番目の選び方が $n$ 通り、2番目も（同じものを使えるので） $n$ 通り、…、 $r$ 番目も $n$ 通りなので：

\underbrace{n \times n \times \cdots \times n}_{r\text{ 個}} = n^r

4. 重複順列の例題

4.1. 例題3：数字の組み合わせ

問題： 0, 1, 2, 3 の4つの数字から重複を許して3桁の整数を作るとき、何通りできるか。

解答：

3桁の整数なので、百の位は0以外でなければなりません。

百の位：0 以外の 3 通り（1, 2, 3）
十の位：重複を許すので 4 通り（0, 1, 2, 3）
一の位：重複を許すので 4 通り（0, 1, 2, 3）

3 \times 4 \times 4 = 48 \text{ 通り}

4.2. 例題4：コインの表裏

問題： コインを5回投げるとき、表・裏の出方は何通りあるか。

解答：

1回の投げで結果が2通り（表か裏）あり、それを5回繰り返します。

2^5 = 32 \text{ 通り}

これも重複順列の考え方です。

5. 円順列・重複順列の使い分け

問題の特徴	使う公式
円形に並べる（回転で同じ→1通り）	$(n-1)!$
一列に並べる、同じものを繰り返し使う	$n^r$
ネックレスなどの裏返しを考える	$\dfrac{(n-1)!}{2}$

注意： ネックレスや数珠のように裏返しても同じになる場合（数珠順列）は、円順列をさらに2で割ります。

6. まとめ

円順列： $n$ $n$ 個を円形に並べる → $(n-1)!$ $(n - 1)!$ 通り
- 1つを固定することで、回転による重複を排除する
重複順列： $n$ $n$ 個から重複を許して $r$ $r$ 個を選んで並べる → $n^r$ $n^{r}$ 通り
- 各位置で毎回 $n$ 通りの選択肢があると考える

順列・組み合わせの基本は順列・組合せ（場合の数の基礎）を参照してください。確率の計算では確率の基本と組み合わせて使うことが多いです。

7. クイズ

問1. A, B, C, D, E の5人を円形のテーブルに座らせるとき、AとBが隣り合う並べ方は何通りか。

正解： 12通り

解説： AとBをひとかたまりと考えると、4つのものを円形に並べる問題になります。 $(4-1)! = 6$ 通り。さらにかたまりの中でAとBが入れ替わる方法が $2! = 2$ 通りあるので、 $6 \times 2 = 12$ 通りです。

問2. 0から9までの10個の数字から重複を許して4桁の整数を作るとき、何通りできるか。

正解： 9000通り

解説： 千の位は0以外なので9通り、十の位・百の位・一の位はそれぞれ10通り。 $9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000$ 通りです。

問3. 赤・青・黄の3色のペンキから重複を許して4つのますを塗るとき、何通りの塗り方があるか。

正解： 81通り

解説： 各ますで3通りの選択肢があり、それが4マスあるので $3^4 = 81$ 通りです。