独立試行と条件付き確率【反復試行・ベイズの定理】

確率の学習が進むと、「前の結果が次に影響するか」という視点が重要になってきます。独立試行では前の結果が影響せず、条件付き確率では「ある事象が起きた条件のもとでの確率」を求めます。この2つを理解することで、より複雑な確率問題を解く力がつきます。

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1. 独立試行

1.1. 独立試行とは

2つの試行において、一方の結果が他方の確率に影響を与えないとき、この2つの試行は互いに独立であるといいます。

例： コインを投げながら、同時にサイコロを振る場合、コインの表裏はサイコロの目に影響しません。

1.2. 独立試行の乗法定理

事象 $A$、$B$ が独立のとき：

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

例題： コインを投げて表が出る確率と、サイコロで1が出る確率はそれぞれ $\frac{1}{2}$、$\frac{1}{6}$ です。両方同時に起こる確率は？

$$P(\text{表かつ1}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$$

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2. 反復試行

2.1. 反復試行とは

同じ条件の試行を繰り返すことを反復試行といいます。各回の試行は互いに独立です。

2.2. 反復試行の公式

$n$ 回の試行で、事象 $A$ の起こる確率を $p$（起こらない確率を $q = 1-p$）とするとき、ちょうど $r$ 回 $A$ が起こる確率は：

$$P = {}_nC_r \, p^r q^{n-r}$$

この式は二項分布の確率公式でもあります。

2.3. 例題1：コインを4回投げる

問題： コインを4回投げて、ちょうど3回表が出る確率を求めよ。

解答：

• $n = 4$（試行回数）
• $r = 3$（表の出る回数）
• $p = \frac{1}{2}$（表の確率）
• $q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$（裏の確率）

$$P = {}_4C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 4 \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$$

2.4. 例題2：サイコロを5回振る

問題： サイコロを5回振って、1の目がちょうど2回出る確率を求めよ。

解答：

• $n = 5$、$r = 2$
• $p = \frac{1}{6}$、$q = \frac{5}{6}$

$$P = {}_5C_2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776} = \frac{625}{3888}$$

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3. 条件付き確率

3.1. 条件付き確率の定義

事象 $A$ が起きたという条件のもとで、事象 $B$ が起こる確率を条件付き確率といい、$P(B|A)$ と書きます。

$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) > 0)$$

直感的な意味： 全体の確率空間 $\Omega$ を、$A$ が起きた場合に絞り込んだ「新しい確率空間」の中で $B$ を見る。

3.2. 例題3：カードを引く問題

問題： 1〜10の番号がついたカードが10枚ある。1枚引いたとき、「偶数である」という条件のもとで「4の倍数である」確率を求めよ。

解答：

• 事象 $A$：偶数が出る → {2, 4, 6, 8, 10}、$P(A) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
• 事象 $B$：4の倍数が出る → {4, 8}
• $A \cap B$：偶数かつ4の倍数 → {4, 8}、$P(A \cap B) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{5}$$

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4. 乗法定理と全確率の定理

4.1. 確率の乗法定理

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$$

条件付き確率の定義式を変形したものです。

4.2. 全確率の定理

事象 $B_1, B_2, \ldots, B_n$ が互いに排反で、どれか1つは必ず起こる（全事象を分割している）とき：

$$P(A) = \sum_{k=1}^{n} P(B_k) \times P(A|B_k)$$

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5. ベイズの定理

5.1. ベイズの定理とは

「原因から結果」の確率がわかっているとき、「結果から原因」の確率（事後確率）を求める定理です。

$$P(B_k|A) = \frac{P(B_k) \times P(A|B_k)}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \times P(A|B_j)}$$

5.2. 例題4：2つの箱からボールを引く

問題： 箱 $X$ には赤玉3個・白玉2個、箱 $Y$ には赤玉1個・白玉4個が入っている。コインを投げて表なら箱 $X$、裏なら箱 $Y$ を選び、1個取り出したとき赤玉だった。箱 $X$ を選んでいた確率を求めよ。

解答：

• $P(X) = P(Y) = \frac{1}{2}$（コインで選ぶ）
• $P(\text{赤}|X) = \frac{3}{5}$、$P(\text{赤}|Y) = \frac{1}{5}$

全確率の定理より：

$$P(\text{赤}) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

ベイズの定理より：

$$P(X|\text{赤}) = \frac{P(X) \times P(\text{赤}|X)}{P(\text{赤})} = \frac{\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{5}}{\dfrac{2}{5}} = \frac{\dfrac{3}{10}}{\dfrac{2}{5}} = \frac{3}{10} \times \frac{5}{2} = \frac{3}{4}$$

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6. まとめ

確率の基本概念は 確率の基本 で確認しておきましょう。確率変数の平均（期待値）については 期待値 で学びます。

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7. クイズ

問1. サイコロを3回振って、ちょうど1回だけ偶数の目が出る確率を求めよ。

正解： $\dfrac{3}{8}$

解説： $p = \frac{1}{2}$（偶数の確率）、$n=3$、$r=1$。$\;{}_3C_1\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

問2. 赤玉4個・白玉6個の袋から1個取り出し、それを戻さずさらに1個取り出す。2個とも赤玉である確率を求めよ。

正解： $\dfrac{2}{15}$

解説： $P(\text{1回目赤}) = \frac{4}{10}$、$P(\text{2回目赤}|\text{1回目赤}) = \frac{3}{9}$。乗法定理より $\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$

問3. 箱Aには当たり2本・はずれ3本、箱Bには当たり1本・はずれ4本のくじがある。どちらの箱かを等確率で選んで1本引いたら当たりだった。箱Aを選んでいた確率を求めよ。

正解： $\dfrac{2}{3}$

解説： $P(\text{当たり}) = \frac{1}{2}\times\frac{2}{5} + \frac{1}{2}\times\frac{1}{5} = \frac{3}{10}$。ベイズより $P(A|\text{当たり}) = \frac{\frac{1}{2}\times\frac{2}{5}}{\frac{3}{10}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{3}{10}} = \frac{2}{3}$