円と接線【接弦定理・円周角・内接四角形】

円に関する定理の中でも、接弦定理・円周角・内接四角形は入試頻出の重要テーマです。それぞれの定理が「なぜ成り立つのか」から理解することで、複雑な図形問題も解けるようになります。

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1. 円周角の定理

1.1. 円周角と中心角

円の円周上の1点 $P$ から、同じ円の弧 $AB$（$P$ を含まない方）を見たときの角 $\angle APB$ を円周角といいます。

弧 $AB$ に対する中心角を $\angle AOB$（$O$ は円の中心）とするとき：

$$\text{円周角} = \frac{1}{2} \times \text{中心角}$$ $$\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB$$

1.2. 円周角の定理の系

同じ弧に対する円周角はすべて等しい。

弧 $AB$ 上にない点 $P$、$Q$、$R$ が同じ側にある場合：

$$\angle APB = \angle AQB = \angle ARB$$

半円に対する円周角は90°。

直径 $AB$ に対する円周角 $\angle APB = 90°$（$P$ は半円上の点）

1.3. 例題1：円周角を求める

問題： 円の中心角 $\angle AOB = 140°$ のとき、弧 $AB$ に対する円周角 $\angle APB$ を求めよ。

解答：

$$\angle APB = \frac{1}{2} \times 140° = 70°$$

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2. 接線と弦のなす角（接弦定理）

2.1. 接弦定理とは

円の接線と、接点を端点とする弦がなす角は、その弦に対する弧の円周角に等しい。

点 $T$ で円に接する接線 $\ell$ と、弦 $TA$ がなす角を $\theta$ とすると：

$$\theta = \angle TBA$$

ここで $B$ は弧 $TA$（$\theta$ に対応する方の弧）上の点です。

直感的な覚え方： 接線と弦のなす角 = 向こう側の弧の円周角

2.2. 接弦定理の証明（概略）

弦 $TA$ に対する中心角を $2\alpha$ とすると、円周角は $\alpha$ です。

接線は半径と垂直（$\angle OTA = 90°$）なので、接線と弦のなす角は：

$$90° - \angle OAT$$

二等辺三角形 $OTA$（$OT = OA$ = 半径）より $\angle OAT = 90° - \alpha$

したがって接線と弦のなす角は $\alpha$、これは円周角に等しい。$\square$

2.3. 例題2：接弦定理の応用

問題： 点 $T$ での接線と弦 $TA$ がなす角が $55°$ であるとき、弧 $TA$（接線側）に対する円周角 $\angle TBA$ を求めよ。ただし $B$ は劣弧 $TA$ 上にない点。

解答：

接弦定理より、接線と弦 $TA$ のなす角 $= 55°$ は弦 $TA$ の劣弧に対する円周角です。

優弧 $TA$ に対する円周角（中心角は $360° - 2 \times 55° = 250°$ の半分）：

劣弧に対する中心角 $= 2 \times 55° = 110°$

優弧に対する中心角 $= 360° - 110° = 250°$

$$\angle TBA = \frac{250°}{2} = 125°$$

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3. 円に内接する四角形

3.1. 内接四角形の性質

4頂点がすべて同じ円上にある四角形を円に内接する四角形（内接四角形）といいます。

内接四角形の最重要性質：

$$\text{対角の和} = 180°$$

四角形 $ABCD$ が円に内接するとき：

$$\angle A + \angle C = 180°, \quad \angle B + \angle D = 180°$$

3.2. なぜ対角の和が180°か

弧 $BCD$（$A$ を含まない方）に対する円周角 $= \angle A$

弧 $DAB$（$C$ を含まない方）に対する円周角 $= \angle C$

弧 $BCD$ + 弧 $DAB$ = 全周（中心角の合計 $360°$）

したがって：

$$\angle A + \angle C = \frac{360°}{2} = 180°$$

3.3. 内接四角形の判定条件

逆に、「対角の和が $180°$ であれば、その四角形は円に内接する」も成り立ちます。

3.4. 例題3：内接四角形の角度

問題： 円に内接する四角形 $ABCD$ において、$\angle A = 75°$、$\angle B = 110°$ のとき、$\angle C$ と $\angle D$ を求めよ。

解答：

対角の和が $180°$ より：

$$\angle C = 180° - \angle A = 180° - 75° = 105°$$ $$\angle D = 180° - \angle B = 180° - 110° = 70°$$

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4. 二つの弦の交点

4.1. 円内の交点（方べきの定理・基本）

円の内部で2本の弦 $AB$ と $CD$ が点 $P$ で交わるとき：

$$PA \times PB = PC \times PD$$

4.2. 円外の交点

円の外部の点 $P$ から円に2本の割線を引き、それぞれ点 $A$、$B$ と点 $C$、$D$ で交わるとき（$P$ に近い方から $A$、$B$）：

$$PA \times PB = PC \times PD$$

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5. まとめ

三角形の重心・内心などの詳細は 三角形の性質 を、チェバの定理・メネラウスの定理は チェバの定理とメネラウスの定理 を参照してください。

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6. クイズ

問1. 円に内接する四角形 $ABCD$ で $\angle DAB = 95°$ のとき、$\angle BCD$ を求めよ。

正解： $85°$

解説： 内接四角形の対角の和は $180°$ なので $\angle BCD = 180° - 95° = 85°$

問2. 弧 $AB$ に対する中心角が $80°$ のとき、この弧に対する円周角を求めよ。また、円周上の $A$、$B$ と異なる点 $P$、$Q$ がともに同じ側にあるとき、$\angle APB$ と $\angle AQB$ の大小関係を述べよ。

正解： 円周角 $= 40°$、$\angle APB = \angle AQB$（等しい）

解説： 円周角 $= \frac{1}{2} \times 80° = 40°$。同じ弧に対する円周角はすべて等しいので $\angle APB = \angle AQB = 40°$。

問3. 点 $T$ での接線と弦 $TA$ のなす角が $40°$ のとき、弧 $TA$（接線と弦の間の弧）に対する円周角を求めよ。

正解： $40°$

解説： 接弦定理より、接線と弦のなす角 $= 40°$ は、その弦の向こう側の弧の円周角に等しい。よって答えは $40°$。