期待値【確率変数の平均・期待値の計算】

ゲームや賭け事で「平均的にどれくらい得（損）をするか」を数学的に表したものが期待値です。期待値は確率と値の組み合わせで計算でき、数学Aの確率分野における重要な概念です。

1. 確率変数とは

1.1. 確率変数の定義

試行の結果によって値が決まる変数を確率変数といいます。例えば、サイコロを1回振ったときに出る目を $X$ とすると：

X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

それぞれの値をとる確率は $P(X = k) = \frac{1}{6}$ （ $k = 1, 2, \ldots, 6$ ）です。

1.2. 確率分布表

確率変数 $X$ のとりうる値とそれぞれの確率をまとめた表を確率分布表といいます。

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$	合計
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$	$1$

確率の合計は必ず $\displaystyle\sum_{k=1}^n p_k = 1$ になります。

2. 期待値の定義

2.1. 期待値の公式

確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ （または $\mu$ ）は次の式で定義されます：

E(X) = \sum_{k=1}^{n} x_k p_k = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n

意味： 期待値は確率を重みとした加重平均です。試行を多数回繰り返したときの、結果の平均値を表します。

3. 期待値の例題

3.1. 例題1：サイコロの期待値

問題： サイコロを1回振るとき、出る目の期待値を求めよ。

解答：

確率分布は次の通り：

$X$	1	2	3	4	5	6
$P$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$

E(X) = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6}

= \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5

サイコロを振り続けると、平均的に 3.5 に近づきます。

3.2. 例題2：くじ引きの期待値

問題： 100円・500円・1000円が当たるくじがそれぞれ3本・2本・1本あり、残り94本はハズレ（0円）の計100本のくじがある。1本引いたときの当選金額の期待値を求めよ。

解答：

確率分布：

$X$ （円）	0	100	500	1000
$P$	$\dfrac{94}{100}$	$\dfrac{3}{100}$	$\dfrac{2}{100}$	$\dfrac{1}{100}$

E(X) = 0 \times \frac{94}{100} + 100 \times \frac{3}{100} + 500 \times \frac{2}{100} + 1000 \times \frac{1}{100}

= 0 + 3 + 10 + 10 = 23 \text{（円）}

1本あたりの期待値は 23円 です。くじの購入価格がこれより高ければ「損」、低ければ「得」な設計になっています。

3.3. 例題3：ゲームの期待値（損得の判断）

問題： コインを2枚投げて「2枚とも表」なら500円もらえ、「2枚とも裏」なら200円支払い、それ以外は何もない。このゲームに参加する場合、1回あたりの期待値を求めよ。

解答：

各結果の確率：

結果	2枚とも表	1枚ずつ	2枚とも裏
$X$ （円）	$+500$	$0$	$-200$
$P$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{4}$

E(X) = 500 \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{1}{2} + (-200) \times \frac{1}{4}

= 125 + 0 - 50 = 75 \text{（円）}

期待値は +75円 なので、このゲームは「平均的に得をする」設計です。

4. 期待値の性質

4.1. 定数倍・定数和の性質

$a$ 、 $b$ を定数とするとき：

E(aX + b) = aE(X) + b

例： $E(X) = 3$ のとき、 $E(2X + 1) = 2 \times 3 + 1 = 7$

4.2. 期待値の加法性

2つの確率変数 $X$ 、 $Y$ について：

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

これは $X$ と $Y$ が独立でなくても成り立ちます。

4.3. 例題4：期待値の加法性を使う

問題： サイコロを2回振るとき、2回の出た目の和の期待値を求めよ。

解答：

1回目の出た目を $X_1$ 、2回目を $X_2$ とすると：

E(X_1) = E(X_2) = \frac{7}{2}

加法性より：

E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2) = \frac{7}{2} + \frac{7}{2} = 7

2回の出た目の和の期待値は 7 です。

5. 期待値と反復試行

反復試行で $n$ 回中 $r$ 回事象が起こる回数の期待値は：

E = np

ここで $p$ は1回の試行で事象が起こる確率です。

例：サイコロを60回投げるとき、1の目が出る回数の期待値は：

E = 60 \times \frac{1}{6} = 10 \text{（回）}

反復試行の確率計算は独立試行と条件付き確率で詳しく説明しています。

6. まとめ

項目	内容
期待値の定義	$E(X) = \sum x_k p_k$
意味	確率を重みとした加重平均
定数変換	$E(aX+b) = aE(X)+b$
加法性	$E(X+Y) = E(X)+E(Y)$
反復試行	$E = np$

確率の基本からおさらいしたい場合は確率の基本を参照してください。

7. クイズ

問1. 1〜5の番号が書かれたカードから1枚を引くとき、番号の2乗の期待値を求めよ。

正解： $11$

解説： $E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{5} + 2^2 \cdot \frac{1}{5} + 3^2 \cdot \frac{1}{5} + 4^2 \cdot \frac{1}{5} + 5^2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1+4+9+16+25}{5} = \frac{55}{5} = 11$

問2. 1回の試行で確率 $\frac{1}{4}$ で当たりが出るゲームを100回行うとき、当たりが出る回数の期待値を求めよ。

正解： $25$ 回

解説： 反復試行の期待値 $E = np = 100 \times \frac{1}{4} = 25$ 回

問3. 確率変数 $X$ の期待値が $E(X) = 4$ のとき、 $E(3X - 2)$ の値を求めよ。

正解： $10$

解説： $E(3X-2) = 3E(X) - 2 = 3 \times 4 - 2 = 10$