2次曲線(楕円・双曲線・放物線)の基本を解説

1. 2次曲線とは

2次曲線とは、 $x, y$ の2次方程式で表される曲線の総称で、代表的なものに楕円・双曲線・放物線があります。実は円の方程式も2次曲線の一種で、楕円の特別な場合(横と縦の長さが等しい楕円)とみなすことができます。それぞれの標準形の方程式と性質を確認していきましょう。

中心が原点にある楕円の標準形は、次の式で表されます( $a>b>0$ )。

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

この楕円は $x$ 軸上に2つの焦点を持ち、焦点の座標は $(\pm c, 0)$ 、ただし $c=\sqrt{a^2-b^2}$ です。

楕円 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ の焦点を求めなさい。

$a^2=25$ 、 $b^2=9$ なので、

c = \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4

よって、焦点は $(4, 0)$ と $(-4, 0)$ です。

中心が原点にある双曲線の標準形は、次の式で表されます。

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

双曲線も $x$ 軸上に焦点 $(\pm c, 0)$ を持ちますが、 $c=\sqrt{a^2+b^2}$ となる点が楕円と異なります。また、双曲線は原点を通る2本の直線(漸近線)に限りなく近づく性質があります。

y = \pm\frac{b}{a}x

双曲線 $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$ の焦点と漸近線を求めなさい。

$a^2=16$ 、 $b^2=9$ なので、 $a=4$ 、 $b=3$ 、

c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5

焦点は $(5,0)$ 、 $(-5,0)$ 。漸近線は、

y = \pm\frac{3}{4}x

（本文中への画像挿入案: /images/math-c/nijikyokusen-kihon-kyokusen.png、alt=「楕円・双曲線・放物線の形と焦点の位置を示した図」をこのセクションの下に配置すると、3種類の曲線の形の違いが視覚的に伝わりやすくなります。)

頂点が原点にある放物線の標準形は、次の式で表されます。

y^2 = 4px

この放物線は焦点 $(p, 0)$ を持ち、準線と呼ばれる直線 $x=-p$ からの距離が、常に焦点からの距離と等しくなるという性質があります。

放物線 $y^2=8x$ の焦点と準線を求めなさい。

$4p=8$ より $p=2$ なので、

\text{焦点: } (2, 0), \qquad \text{準線: } x = -2

楕円 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1$ の焦点を求めなさい。
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  正解: $(2\sqrt3, 0)$ 、 $(-2\sqrt3, 0)$ 。 $c=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt3$ 。
双曲線 $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ の漸近線の方程式を求めなさい。
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  正解: $y=\pm\dfrac{4}{3}x$ 。 $a=3$ 、 $b=4$ より漸近線は $y=\pm\dfrac{b}{a}x=\pm\dfrac43x$ 。