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📐 平面上の曲線の公式まとめ

「平面上の曲線」で学ぶ公式をまとめました。各公式をタップすると解説記事にジャンプします。

2次曲線(楕円・双曲線・放物線)の基本を解説

  • 2. 楕円の方程式と性質

    x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

  • 3. 双曲線の方程式と性質

    x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

  • 3. 双曲線の方程式と性質

    y=±baxy = \pm\frac{b}{a}x

  • 4. 放物線の方程式と性質

    y2=4pxy^2 = 4px

パラメータ表示と極座標【曲線の表示・極方程式】

  • 1. パラメータ表示（媒介変数表示）とは

    {x=f(t)y=g(t)\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}

  • 1.1. 円のパラメータ表示

    {x=rcos⁡θy=rsin⁡θ(0≤θ<2π)\begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{cases} \quad (0 \leq \theta < 2\pi)

  • 1.2. 楕円のパラメータ表示

    {x=acos⁡θy=bsin⁡θ\begin{cases} x = a\cos\theta \\ y = b\sin\theta \end{cases}

  • 1.3. サイクロイド

    {x=r(θ−sin⁡θ)y=r(1−cos⁡θ)\begin{cases} x = r(\theta - \sin\theta) \\ y = r(1 - \cos\theta) \end{cases}

  • 2. 極座標とは

    P=(r, θ)極座標P = (r,\, \theta)_{\text{極座標}}

  • 2. 極座標とは

    x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta

  • 2. 極座標とは

    r=x2+y2,tan⁡θ=yxr = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \tan\theta = \frac{y}{x}

  • 2.1. 例：直交座標 → 極座標

    r=(3)2+12=4=2r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2

  • 2.1. 例：直交座標 → 極座標

    tan⁡θ=13  ⟹  θ=π6\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta = \frac{\pi}{6}

  • 3.1. 代表的な極方程式

    r=2acos⁡θr = 2a\cos\theta

  • 3.1. 代表的な極方程式

    r2=a2cos⁡2θr^2 = a^2\cos 2\theta

  • 3.1. 代表的な極方程式

    r=a(1+cos⁡θ)r = a(1 + \cos\theta)