極形式と回転【ド・モアブルの定理・回転移動】

複素数を極形式で表すと、掛け算が「絶対値を掛けて偏角を足す」操作になります。これは複素数平面上での回転と拡大に対応しており、幾何学的な直感がぐっと深まります。この記事では極形式の定義からド・モアブルの定理、回転移動の応用まで順を追って解説します。

1. 極形式とは

複素数 $z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）に対して

• 絶対値（原点からの距離）：$|z| = r = \sqrt{a^2 + b^2}$
• 偏角（$x$ 軸正方向からの角度）：$\arg z = \theta$（$\tan\theta = b/a$）

とおくと、$a = r\cos\theta$、$b = r\sin\theta$ より

$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$

この表し方を複素数の極形式といいます。

1.1. 例：極形式に直す

$z = 1 + \sqrt{3}\,i$ を極形式で表せ。

$$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$$ $$\cos\theta = \frac{1}{2},\quad \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{3}$$ $$z = 2\!\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$

2. 複素数の積と商の極形式

$z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$、$z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ のとき

$$z_1 z_2 = r_1 r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)\}$$ $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\{\cos(\theta_1-\theta_2) + i\sin(\theta_1-\theta_2)\}$$

掛け算 → 絶対値の積・偏角の和、割り算 → 絶対値の商・偏角の差、と覚えましょう。

これは三角関数の加法定理から導けます。$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ などを使って計算すると確認できます。

2.1. 例題 1：積の計算

$z_1 = \sqrt{2}\!\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$、$z_2 = 3\!\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$ のとき $z_1 z_2$ を求めよ。

解答

$$|z_1 z_2| = \sqrt{2} \times 3 = 3\sqrt{2}$$ $$\arg(z_1 z_2) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$$ $$z_1 z_2 = 3\sqrt{2}\!\left(\cos\frac{5\pi}{12} + i\sin\frac{5\pi}{12}\right)$$

3. ド・モアブルの定理

極形式の積の公式を $n$ 回繰り返すと

$$\boxed{(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta}$$

これをド・モアブルの定理といいます（$n$ は整数）。

絶対値 $r$ がある場合は

$$\{r(\cos\theta + i\sin\theta)\}^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$$

3.1. 例題 2：ド・モアブルの定理で累乗を計算

$(1 + i)^8$ を計算せよ。

解答

まず $1 + i$ を極形式に直す。

$$r = \sqrt{2},\quad \theta = \frac{\pi}{4}$$ $$1 + i = \sqrt{2}\!\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$$

ド・モアブルの定理を適用する。

$$(1+i)^8 = (\sqrt{2})^8\!\left(\cos\frac{8\pi}{4} + i\sin\frac{8\pi}{4}\right)$$ $$= 16(\cos 2\pi + i\sin 2\pi) = 16(1 + 0) = 16$$

4. 回転移動

複素数平面上で、点 $z$ を原点を中心に角 $\alpha$ だけ回転させた点は

$$z' = z \cdot (\cos\alpha + i\sin\alpha)$$

で表されます。これは $z$ に偏角 $\alpha$・絶対値 $1$ の複素数を掛けることと同じです。

また、点 $w$ を中心に $z$ を角 $\alpha$ だけ回転させると

$$z' - w = (z - w)(\cos\alpha + i\sin\alpha)$$ $$z' = (z - w)(\cos\alpha + i\sin\alpha) + w$$

4.1. 例題 3：回転移動

複素数平面上の点 $z = 2 + i$ を原点を中心に $\dfrac{\pi}{2}$ だけ回転させた点 $z'$ を求めよ。

解答

$$\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = 0 + i = i$$ $$z' = (2 + i) \cdot i = 2i + i^2 = 2i - 1 = -1 + 2i$$

確認：$|z| = \sqrt{5}$、$|z'| = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ — 絶対値は変わっていない。

4.2. 例題 4：別の点を中心とした回転

点 $z = 3 + 0i$ を点 $w = 1 + i$ を中心に $\dfrac{\pi}{2}$ だけ回転させた点 $z'$ を求めよ。

解答

$$z - w = (3 - 1) + (0 - 1)i = 2 - i$$ $$(z - w) \cdot i = (2 - i) \cdot i = 2i - i^2 = 2i + 1 = 1 + 2i$$ $$z' = (1 + 2i) + w = (1 + 2i) + (1 + i) = 2 + 3i$$

5. 1の $n$ 乗根

$z^n = 1$ を満たす複素数を1の $n$ 乗根といいます。ド・モアブルの定理より

$$z_k = \cos\frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n} \quad (k = 0, 1, 2, \ldots, n-1)$$

これらは複素数平面上で原点を中心とする半径1の円（単位円）を $n$ 等分する点に対応します。

5.1. 例：1の3乗根

$z^3 = 1$ の解（$n = 3$, $k = 0,1,2$）

$$z_0 = 1,\quad z_1 = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad z_2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$$

関連記事として、複素数平面の基本（加減算・共役複素数・絶対値）については「複素数平面の基本」を参照してください。

6. クイズ

1. $z = -1 + i$ の絶対値と偏角を求めよ。

   正解：$|z| = \sqrt{2}$、$\arg z = \dfrac{3\pi}{4}$　$r = \sqrt{(-1)^2+1^2} = \sqrt{2}$。$\cos\theta = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ より $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$（第2象限）。

2. ド・モアブルの定理を使って $\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^6$ を求めよ。

   正解：$-1$　$\cos\dfrac{6\pi}{6} + i\sin\dfrac{6\pi}{6} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0i = -1$。

3. 複素数平面上の点 $z = 1 + \sqrt{3}\,i$ を原点を中心に $-\dfrac{\pi}{3}$（時計回りに $60°$）回転させた点 $z'$ を求めよ。

   正解：$z' = 2$　$\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) + i\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$。$(1+\sqrt{3}\,i)\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i - \dfrac{3}{4}i^2\cdot 2$……を計算すると $= \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 2$。（$|z| = 2$、偏角 $\dfrac{\pi}{3}$ の点を $-\dfrac{\pi}{3}$ 回転 → 偏角 $0$、$z' = 2$）