空間ベクトル【座標・内積・直線と平面の方程式】

平面ベクトルを3次元空間に拡張したものが空間ベクトルです。座標軸が $x$ 、 $y$ 、 $z$ の3本になるだけで、演算の規則はほぼ同じです。ただし「平面の方程式」など、空間特有の概念も登場します。この記事では、空間ベクトルの基本から直線・平面の表し方まで体系的に解説します。

1. 空間ベクトルの座標表示

空間内の点 $\text{A}(a_1, a_2, a_3)$ に対し、原点 $\text{O}$ から $\text{A}$ へのベクトル $\overrightarrow{\text{OA}}$ を

\vec{a} = (a_1,\, a_2,\, a_3)

と表します。 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $a_3$ はそれぞれ $x$ 、 $y$ 、 $z$ 成分です。

\vec{e_1} = (1, 0, 0),\quad \vec{e_2} = (0, 1, 0),\quad \vec{e_3} = (0, 0, 1)

これらを使うと $\vec{a} = a_1\vec{e_1} + a_2\vec{e_2} + a_3\vec{e_3}$ と分解できます。

ベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 、 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ 、スカラー $k$ に対して

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

\vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1,\, a_2+b_2,\, a_3+b_3)

k\vec{a} = (ka_1,\, ka_2,\, ka_3)

$\text{A}(1, 2, 3)$ 、 $\text{B}(4, 0, -1)$ のとき

\overrightarrow{\text{AB}} = (4-1,\; 0-2,\; -1-3) = (3, -2, -4)

|\overrightarrow{\text{AB}}| = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}

$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 、 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ のなす角を $\theta$ とするとき

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

垂直条件： $\vec{a} \perp \vec{b} \iff a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0$ （ $\vec{a},\vec{b}\neq\vec{0}$ ）

$\vec{a} = (2, 1, -2)$ 、 $\vec{b} = (1, 2, 2)$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

解答

\vec{a}\cdot\vec{b} = 2\times1 + 1\times2 + (-2)\times2 = 2 + 2 - 4 = 0

内積が $0$ なので $\vec{a} \perp \vec{b}$ 、つまり $\theta = 90^\circ$ 。

点 $\text{A}$ を通り、方向ベクトル $\vec{d}$ に平行な直線上の点 $\text{P}$ は

\overrightarrow{\text{OP}} = \overrightarrow{\text{OA}} + t\vec{d} \quad (t \in \mathbb{R})

と表せます。これを直線のベクトル方程式といいます。

$\text{A}(a_1, a_2, a_3)$ 、 $\vec{d} = (d_1, d_2, d_3)$ のとき

\begin{cases} x = a_1 + d_1 t \\ y = a_2 + d_2 t \\ z = a_3 + d_3 t \end{cases}

点 $\text{A}(1, -1, 2)$ を通り、方向ベクトル $\vec{d} = (2, 3, -1)$ の直線を表せ。

解答

\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + 3t \\ z = 2 - t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})

空間内の平面は法線ベクトル（平面に垂直なベクトル） $\vec{n} = (a, b, c)$ を使って表せます。点 $\text{A}(x_0, y_0, z_0)$ を通り $\vec{n}$ を法線ベクトルとする平面上の点 $\text{P}(x, y, z)$ に対して

\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \vec{n} = 0

これを展開すると

a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0

整理して

ax + by + cz = d \quad \text{（}d = ax_0 + by_0 + cz_0\text{）}

点 $\text{A}(1, 2, 3)$ を通り、法線ベクトル $\vec{n} = (1, -2, 1)$ の平面の方程式を求めよ。

解答

1(x-1) + (-2)(y-2) + 1(z-3) = 0

x - 1 - 2y + 4 + z - 3 = 0

x - 2y + z = 0

平面上に2つの方向ベクトル $\vec{u}$ 、 $\vec{v}$ があるとき、両方に垂直なベクトル（法線ベクトル） $\vec{n}$ を求めるには

\vec{n} \cdot \vec{u} = 0, \quad \vec{n} \cdot \vec{v} = 0

を連立します（数学IIIの外積を使う方法は発展内容）。

平面 $ax + by + cz + d = 0$ と点 $\text{P}(x_0, y_0, z_0)$ の距離は

\text{距離} = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

これは平面ベクトルにおける「点と直線の距離」の公式を3次元に拡張したものです。

関連記事として、内積の詳しい計算については「内積とベクトルの応用」を、平面ベクトルの基本については「平面ベクトルの基本」を参照してください。

$\vec{a} = (1, 0, 2)$ の大きさ $|\vec{a}|$ を求めよ。

正解： $\sqrt{5}$ 　 $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ 。
点 $\text{A}(2, 1, -1)$ を通り、法線ベクトル $\vec{n} = (3, 0, -1)$ の平面の方程式を求めよ。

正解： $3x - z = 7$ 　 $3(x-2) + 0(y-1) + (-1)(z+1) = 0$ を整理すると $3x - 6 - z - 1 = 0$ 、よって $3x - z = 7$ 。
$\vec{a} = (1, 2, t)$ と $\vec{b} = (2, -1, 1)$ が垂直になる $t$ を求めよ。

正解： $t = 0$ 　 $\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\times2 + 2\times(-1) + t\times1 = 2 - 2 + t = t = 0$ 。