理系ハウス

複素数平面と極形式をわかりやすく解説

公開日: 2026/7/11

📐 公式まとめ

  • 2. 複素数の絶対値と偏角

    ∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2+b^2}

  • 3. 極形式とは

    z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

  • 4. 極形式のかけ算・わり算

    r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)×r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)=r1r2{cos⁡(θ1+θ2)+isin⁡(θ1+θ2)}r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1) \times r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2) = r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}

  • 5. ド・モアブルの定理(発展)

    {r(cos⁡θ+isin⁡θ)}n=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)\{r(\cos\theta+i\sin\theta)\}^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)

1. 複素数平面とは

複素数 z=a+biz = a+bi は、平面上の点 (a,b)(a, b) として表すことができます。この平面を複素数平面(ガウス平面)といい、横軸(実軸)に実部 aa、縦軸(虚軸)に虚部 bb をとります。複素数を平面上の点や、原点からのベクトル と同じように考えると、絶対値や角度のイメージがつかみやすくなります。

2. 複素数の絶対値と偏角

原点から点 z=a+biz=a+bi までの距離を、複素数の絶対値といい ∣z∣|z| と表します。

∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2+b^2}

また、実軸の正の向きから複素数 zz までの回転角を偏角といい、arg⁡z\arg z と表します。

2.1. 例題1: 絶対値と偏角を求める

z=1+3 iz = 1+\sqrt3\,i の絶対値と偏角を求めなさい。

∣z∣=12+(3)2=1+3=2|z| = \sqrt{1^2+(\sqrt3)^2} = \sqrt{1+3} = 2

実部 11、虚部 3\sqrt3 の点は第1象限にあり、tan⁡(arg⁡z)=31=3\tan(\arg z) = \dfrac{\sqrt3}{1}=\sqrt3 となる角は 60∘60^\circ なので、arg⁡z=60∘\arg z = 60^\circ です。

3. 極形式とは

複素数 z=a+biz=a+bi は、絶対値 r=∣z∣r=|z| と偏角 θ=arg⁡z\theta=\arg z を使って、次の極形式でも表せます。

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

3.1. 例題2: 極形式で表す

z=−1+iz=-1+i を極形式で表しなさい。

∣z∣=(−1)2+12=2|z| = \sqrt{(-1)^2+1^2} = \sqrt2

zz は第2象限の点で、xx 軸から 135∘135^\circ の位置にあるので arg⁡z=135∘\arg z=135^\circ です。よって、

z=2(cos⁡135∘+isin⁡135∘)z = \sqrt2(\cos135^\circ + i\sin135^\circ)

（本文中への画像挿入案: /images/math-c/fukusosuu-heimen-heimen.png、alt=「複素数平面上の点zと絶対値r・偏角θの関係を示した図」をこのセクションの下に配置すると、極形式の意味が視覚的に伝わりやすくなります。)

4. 極形式のかけ算・わり算

極形式で表した複素数どうしのかけ算・わり算は、絶対値どうしのかけ算・わり算と、偏角どうしの足し算・引き算に対応します。

r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)×r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)=r1r2{cos⁡(θ1+θ2)+isin⁡(θ1+θ2)}r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1) \times r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2) = r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}

4.1. 例題3: 極形式でかけ算をする

z1=2(cos⁡60∘+isin⁡60∘)z_1=2(\cos60^\circ+i\sin60^\circ)、z2=2(cos⁡135∘+isin⁡135∘)z_2=\sqrt2(\cos135^\circ+i\sin135^\circ) の積を求めなさい。

z1z2=22{cos⁡(60∘+135∘)+isin⁡(60∘+135∘)}=22(cos⁡195∘+isin⁡195∘)z_1z_2 = 2\sqrt2\{\cos(60^\circ+135^\circ)+i\sin(60^\circ+135^\circ)\} = 2\sqrt2(\cos195^\circ+i\sin195^\circ)

5. ド・モアブルの定理(発展)

極形式のかけ算を繰り返し使うと、複素数の nn 乗を求めるド・モアブルの定理が得られます。

{r(cos⁡θ+isin⁡θ)}n=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)\{r(\cos\theta+i\sin\theta)\}^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)

5.1. 例題4: ド・モアブルの定理を使う

z=2(cos⁡60∘+isin⁡60∘)z=2(\cos60^\circ+i\sin60^\circ) について、z4z^4 を極形式と直交形式の両方で求めなさい。

z4=24(cos⁡240∘+isin⁡240∘)=16(cos⁡240∘+isin⁡240∘)z^4 = 2^4(\cos240^\circ+i\sin240^\circ) = 16(\cos240^\circ+i\sin240^\circ)

cos⁡240∘=−12\cos240^\circ=-\dfrac12、sin⁡240∘=−32\sin240^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{2} なので、

z4=16(−12−32i)=−8−83 iz^4 = 16\left(-\frac12 - \frac{\sqrt3}{2}i\right) = -8 - 8\sqrt3\,i

6. クイズ

  1. z=3+iz=\sqrt3+i の絶対値と偏角を求めなさい。

    • 答えを見る正解: ∣z∣=2|z|=2、arg⁡z=30∘\arg z=30^\circ。∣z∣=3+1=2|z|=\sqrt{3+1}=2、tan⁡(arg⁡z)=13\tan(\arg z)=\dfrac{1}{\sqrt3} となる角は 30∘30^\circ。

  2. z=2(cos⁡30∘+isin⁡30∘)z=2(\cos30^\circ+i\sin30^\circ) を4乗した結果を極形式で答えなさい。

    • 答えを見る正解: 16(cos⁡120∘+isin⁡120∘)16(\cos120^\circ+i\sin120^\circ)。ド・モアブルの定理より z4=24(cos⁡(4×30∘)+isin⁡(4×30∘))=16(cos⁡120∘+isin⁡120∘)z^4=2^4(\cos(4\times30^\circ)+i\sin(4\times30^\circ))=16(\cos120^\circ+i\sin120^\circ)。
#複素数平面#極形式#複素数