平面ベクトルの基本と内積の求め方【なす角】

1. ベクトルとは

ベクトルとは、大きさと向きの両方を持つ量のことです。平面上のベクトルは、成分を使って $\vec{a} = (a_1, a_2)$ のように表せます。矢印の記号がついた $\vec{a}$ は、始点から終点への「向き」と「長さ」をまとめて表す量だとイメージしましょう。

ベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2)$ の大きさ(長さ)は、三平方の定理を使って次の式で求められます。

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

$\vec{a} = (3, 4)$ の大きさを求めなさい。

|\vec{a}| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5

成分表示されたベクトルの計算は、成分どうしをそのまま計算するだけです。

\vec{a}+\vec{b} = (a_1+b_1,\ a_2+b_2), \quad \vec{a}-\vec{b} = (a_1-b_1,\ a_2-b_2), \quad k\vec{a} = (ka_1,\ ka_2)

（本文中への画像挿入案: /images/math-c/heimen-vector-kihon-heikou.png、alt=「ベクトルの加法を平行四辺形で示した図」をこのセクションの下に配置すると、成分計算と図形的なイメージがつながりやすくなります。)

$\vec{a}=(1,2)$ 、 $\vec{b}=(3,-1)$ のとき、 $\vec{a}+\vec{b}$ 、 $\vec{a}-\vec{b}$ 、 $2\vec{a}$ をそれぞれ求めなさい。

$\vec{a}+\vec{b} = (1+3,\ 2-1) = (4, 1)$ $\vec{a}-\vec{b} = (1-3,\ 2-(-1)) = (-2, 3)$ $2\vec{a} = (2\times1,\ 2\times2) = (2, 4)$

内積は、2つのベクトルからひとつの数(スカラー)を作る計算で、次の2通りの方法で定義されます。

\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \qquad (\theta \text{ は } \vec{a}, \vec{b} \text{ のなす角})

成分がわかっている場合は、次の式で内積を直接計算できます。

\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2

$\vec{a}=(2,1)$ 、 $\vec{b}=(1,3)$ の内積を求めなさい。

\vec{a}\cdot\vec{b} = 2\times1 + 1\times3 = 2+3 = 5

内積の2つの定義を組み合わせると、なす角 $\theta$ は次の式で求められます。

\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

$\vec{a}=(1,0)$ 、 $\vec{b}=(1,1)$ のなす角 $\theta$ を求めなさい。

内積は $\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times1+0\times1=1$ 、大きさは $|\vec{a}|=1$ 、 $|\vec{b}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ なので、

\cos\theta = \frac{1}{1\times\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}

$\cos\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}$ となる角は $\theta=45^\circ$ です。

$\vec{a}=(2,-3)$ 、 $\vec{b}=(-1,4)$ のとき、 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を求めなさい。
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  正解: $-14$ 。 $\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times(-1)+(-3)\times4=-2-12=-14$ 。
$\vec{a}=(3,0)$ 、 $\vec{b}=(0,4)$ のなす角を求めなさい。
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  正解: $90^\circ$ 。内積は $\vec{a}\cdot\vec{b}=3\times0+0\times4=0$ なので $\cos\theta=0$ 、よって $\theta=90^\circ$ (2つのベクトルは垂直)。