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📐 ベクトルの公式まとめ

「ベクトル」で学ぶ公式をまとめました。各公式をタップすると解説記事にジャンプします。

平面ベクトルの基本と内積の求め方をわかりやすく解説

  • 2. ベクトルの成分表示と大きさ

    ∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

  • 3. ベクトルの加法・減法・実数倍

    a⃗+b⃗=(a1+b1, a2+b2),a⃗−b⃗=(a1−b1, a2−b2),ka⃗=(ka1, ka2)\vec{a}+\vec{b} = (a_1+b_1,\ a_2+b_2), \quad \vec{a}-\vec{b} = (a_1-b_1,\ a_2-b_2), \quad k\vec{a} = (ka_1,\ ka_2)

  • 4. ベクトルの内積とは

    a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ(θ は a⃗,b⃗ のなす角)\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \qquad (\theta \text{ は } \vec{a}, \vec{b} \text{ のなす角})

  • 5. 内積の成分による計算

    a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2

  • 6. 内積を使って2つのベクトルのなす角を求める

    cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

内積とベクトルの応用【内積の定義・なす角・射影】

  • 1. 内積の定義

    a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

  • 2. 成分を使った内積の計算

    a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

  • 2.1. 例：成分での内積計算

    a⃗⋅b⃗=3×2+1×(−4)=6−4=2\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 2 + 1 \times (-4) = 6 - 4 = 2

  • 3. なす角の求め方

    cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

  • 3. なす角の求め方

    cos⁡θ=a1b1+a2b2a12+a22 b12+b22\cos\theta = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\,\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}

  • 4. 垂直条件への応用

    a⃗⊥b⃗  ⟺  a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

  • 5. 射影（正射影）

    射影=∣a⃗∣cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣b⃗∣\text{射影} = |\vec{a}|\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}

  • 6. 内積の性質まとめ

    a⃗⋅a⃗=∣a⃗∣2\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2

空間ベクトル【座標・内積・直線と平面の方程式】

  • 1. 空間ベクトルの座標表示

    a⃗=(a1, a2, a3)\vec{a} = (a_1,\, a_2,\, a_3)

  • 1.1. 基本ベクトル

    e1⃗=(1,0,0),e2⃗=(0,1,0),e3⃗=(0,0,1)\vec{e_1} = (1, 0, 0),\quad \vec{e_2} = (0, 1, 0),\quad \vec{e_3} = (0, 0, 1)

  • 2. 大きさ・演算

    ∣a⃗∣=a12+a22+a32|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

  • 2. 大きさ・演算

    a⃗+b⃗=(a1+b1, a2+b2, a3+b3)\vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1,\, a_2+b_2,\, a_3+b_3)

  • 2. 大きさ・演算

    ka⃗=(ka1, ka2, ka3)k\vec{a} = (ka_1,\, ka_2,\, ka_3)

  • 2.1. 例：2点間の距離

    AB→=(4−1,  0−2,  −1−3)=(3,−2,−4)\overrightarrow{\text{AB}} = (4-1,\; 0-2,\; -1-3) = (3, -2, -4)

  • 2.1. 例：2点間の距離

    ∣AB→∣=9+4+16=29|\overrightarrow{\text{AB}}| = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}

  • 3. 空間ベクトルの内積

    a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

  • 4. 直線の方程式（ベクトル方程式）

    OP→=OA→+td⃗(t∈R)\overrightarrow{\text{OP}} = \overrightarrow{\text{OA}} + t\vec{d} \quad (t \in \mathbb{R})

  • 4.1. 成分で書くと（媒介変数表示）

    {x=a1+d1ty=a2+d2tz=a3+d3t\begin{cases} x = a_1 + d_1 t \\ y = a_2 + d_2 t \\ z = a_3 + d_3 t \end{cases}

  • 5. 平面の方程式

    AP→⋅n⃗=0\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \vec{n} = 0

  • 5. 平面の方程式

    a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0

  • 5. 平面の方程式

    ax+by+cz=d（d=ax0+by0+cz0）ax + by + cz = d \quad \text{（}d = ax_0 + by_0 + cz_0\text{）}

  • 5.2. 法線ベクトルの求め方（2方向ベクトルから）

    n⃗⋅u⃗=0,n⃗⋅v⃗=0\vec{n} \cdot \vec{u} = 0, \quad \vec{n} \cdot \vec{v} = 0

  • 6. 点と平面の距離

    距離=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2\text{距離} = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}