📐 複素数平面の公式まとめ

「複素数平面」で学ぶ公式をまとめました。各公式をタップすると解説記事にジャンプします。

複素数平面と極形式をわかりやすく解説

2. 複素数の絶対値と偏角
$|z| = \sqrt{a^2+b^2}$
3. 極形式とは
$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$
4. 極形式のかけ算・わり算
$r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1) \times r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2) = r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}$
5. ド・モアブルの定理(発展)
$\{r(\cos\theta+i\sin\theta)\}^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$

1. 極形式とは
$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$
1.1. 例：極形式に直す
$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$
1.1. 例：極形式に直す
$\cos\theta = \frac{1}{2},\quad \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{3}$
1.1. 例：極形式に直す
$z = 2\!\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$
2. 複素数の積と商の極形式
$z_1 z_2 = r_1 r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)\}$
2. 複素数の積と商の極形式
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\{\cos(\theta_1-\theta_2) + i\sin(\theta_1-\theta_2)\}$
3. ド・モアブルの定理
$\boxed{(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta}$
3. ド・モアブルの定理
$\{r(\cos\theta + i\sin\theta)\}^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$
4. 回転移動
$z' = z \cdot (\cos\alpha + i\sin\alpha)$
4. 回転移動
$z' - w = (z - w)(\cos\alpha + i\sin\alpha)$
4. 回転移動
$z' = (z - w)(\cos\alpha + i\sin\alpha) + w$
5. 1の nnn 乗根
$z_k = \cos\frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n} \quad (k = 0, 1, 2, \ldots, n-1)$
5.1. 例：1の3乗根
$z_0 = 1,\quad z_1 = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad z_2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$