漸化式の解き方と数学的帰納法の証明手順

1. 漸化式とは

漸化式とは、数列のある項を、その前の項を使って表した式のことです。等差数列・等比数列の一般項も、実は漸化式の特別な場合だと考えられます。漸化式が与えられたとき、 $n$ を使わずに直接第 $n$ 項を表す式(一般項)を求めることを「漸化式を解く」といいます。

$a_1=2$ 、 $a_{n+1}=a_n+3$ で定まる数列の一般項を求めなさい。

「次の項 $=$ 前の項 $+$ 一定の数」の形なので、公差 $3$ の等差数列です。

a_n = 2 + 3(n-1) = 3n - 1

$a_1=5$ 、 $a_{n+1}=2a_n$ で定まる数列の一般項を求めなさい。

「次の項 $=$ 前の項 $\times$ 一定の数」の形なので、公比 $2$ の等比数列です。

a_n = 5 \times 2^{n-1}

等差型でも等比型でもない、次の形の漸化式もよく登場します。

a_{n+1} = pa_n + q \quad (p \neq 1)

この形は、方程式 $\alpha = p\alpha + q$ の解 $\alpha$ (不動点)を使って、 $b_n = a_n - \alpha$ とおくと $b_n$ が等比数列になる、という性質を利用して解きます。

$a_1=1$ 、 $a_{n+1}=3a_n+2$ で定まる数列の一般項を求めなさい。

まず $\alpha = 3\alpha + 2$ を解くと、 $-2\alpha=2$ より $\alpha=-1$ です。ここで $b_n = a_n + 1$ とおくと、

b_{n+1} = a_{n+1}+1 = (3a_n+2)+1 = 3a_n+3 = 3(a_n+1) = 3b_n

よって $\{b_n\}$ は公比 $3$ の等比数列で、初項は $b_1=a_1+1=2$ なので、

b_n = 2\times3^{n-1}

$b_n = a_n+1$ だったので、

a_n = 2\times3^{n-1} - 1

実際に $a_1=2\times1-1=1$ 、 $a_2=3\times1+2=5=2\times3-1$ となり、式が正しいことが確認できます。

数学的帰納法は、「すべての自然数 $n$ 」について成り立つ主張を証明するための方法です。ドミノ倒しのように、最初の1つが倒れて、かつ「あるドミノが倒れたら次も倒れる」ことがいえれば、すべてのドミノが倒れると考えます。

（本文中への画像挿入案: /images/math-b/zenkashiki-kihon-kinouhou.png、alt=「数学的帰納法の証明の流れをドミノ倒しに例えた図」をこのセクションの下に配置すると、n=1の成立とn=kからn=k+1への連鎖のイメージが伝わりやすくなります。)

例題3の漸化式 $a_1=1$ 、 $a_{n+1}=3a_n+2$ から求めた $a_n=2\times3^{n-1}-1$ が、すべての自然数 $n$ で成り立つことを数学的帰納法で証明しなさい。

① $n=1$ のとき

右辺は $2\times3^0-1=2-1=1$ となり、与えられた $a_1=1$ と一致するので成り立つ。

② $n=k$ のとき成り立つと仮定

$a_k = 2\times3^{k-1}-1$ が成り立つと仮定する。漸化式 $a_{k+1}=3a_k+2$ に代入すると、

a_{k+1} = 3(2\times3^{k-1}-1) + 2 = 2\times3^k - 3 + 2 = 2\times3^k - 1

これは $n=k+1$ のときの式 $a_{k+1}=2\times3^{(k+1)-1}-1=2\times3^k-1$ と一致する。

結論

①②より、すべての自然数 $n$ について $a_n=2\times3^{n-1}-1$ が成り立つ。

$a_1=4$ 、 $a_{n+1}=a_n-5$ で定まる数列の一般項を求めなさい。
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  正解: $a_n=-5n+9$ 。公差 $-5$ の等差数列なので $a_n=4+(n-1)\times(-5)=-5n+9$ 。
数学的帰納法の証明に必要な2つのステップを答えなさい。
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  正解: ① $n=1$ (最初の場合)で成り立つことを示す、② $n=k$ で成り立つと仮定して $n=k+1$ でも成り立つことを示す、の2つ。