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等差数列と等比数列【一般項・和の公式】

公開日: 2026/7/11

📐 公式まとめ

  • 1.1. 等差数列の一般項

    an=a+(n−1)da_n = a + (n-1)d

  • 1.1. 等差数列の一般項

    an=3+(n−1)⋅4=4n−1a_n = 3 + (n-1) \cdot 4 = 4n - 1

  • 1.2. 等差数列の和の公式

    Sn=n(a+l)2S_n = \frac{n(a + l)}{2}

  • 1.2. 等差数列の和の公式

    Sn=n{2a+(n−1)d}2S_n = \frac{n\{2a + (n-1)d\}}{2}

  • 1.2. 等差数列の和の公式

    Sn=a+(a+d)+⋯+(l−d)+lSn=l+(l−d)+⋯+(a+d)+a\begin{aligned} S_n &= a + (a+d) + \cdots + (l-d) + l \\ S_n &= l + (l-d) + \cdots + (a+d) + a \end{aligned}

  • 2.1. 等比数列の一般項

    an=a⋅rn−1a_n = a \cdot r^{n-1}

  • 2.1. 等比数列の一般項

    an=5⋅2n−1a_n = 5 \cdot 2^{n-1}

  • 2.2. 等比数列の和の公式

    Sn=a(1−rn)1−r=a(rn−1)r−1S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}

  • 2.2. 等比数列の和の公式

    Sn=a+ar+ar2+⋯+arn−1S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}

  • 2.2. 等比数列の和の公式

    rSn=ar+ar2+⋯+arn−1+arnrS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + ar^n

  • 2.2. 等比数列の和の公式

    (1−r)Sn=a−arn=a(1−rn)(1-r)S_n = a - ar^n = a(1 - r^n)

等差数列と等比数列【一般項・和の公式】

数学Bの「数列」分野で最初に学ぶのが、等差数列と等比数列です。この2つは数列の中で最も基本的な形であり、一般項と和の公式を確実に使えるようにすることが重要です。

1. 等差数列とは

隣り合う2項の差が常に一定の数列を等差数列といいます。この一定の差を公差（こうさ）といい、dd で表します。

例：2,5,8,11,14,…2, 5, 8, 11, 14, \ldots は公差 d=3d = 3 の等差数列です。

1.1. 等差数列の一般項

初項を aa、公差を dd とすると、第 nn 項（一般項）は次の式で表せます。

an=a+(n−1)da_n = a + (n-1)d

例： 初項 a=3a = 3、公差 d=4d = 4 の等差数列の一般項は

an=3+(n−1)⋅4=4n−1a_n = 3 + (n-1) \cdot 4 = 4n - 1

1.2. 等差数列の和の公式

初項 aa、末項 ll、項数 nn の等差数列の和 SnS_n は次の公式で求められます。

Sn=n(a+l)2S_n = \frac{n(a + l)}{2}

また、末項 l=a+(n−1)dl = a + (n-1)d を代入すると

Sn=n{2a+(n−1)d}2S_n = \frac{n\{2a + (n-1)d\}}{2}

なぜこの公式が成り立つのか？

数列の和を2通りの順番で書き、足し合わせると各ペアの和が (a+l)(a + l) になることから導けます。

Sn=a+(a+d)+⋯+(l−d)+lSn=l+(l−d)+⋯+(a+d)+a\begin{aligned} S_n &= a + (a+d) + \cdots + (l-d) + l \\ S_n &= l + (l-d) + \cdots + (a+d) + a \end{aligned}

両辺を足すと 2Sn=n(a+l)2S_n = n(a+l)、よって Sn=n(a+l)2S_n = \dfrac{n(a+l)}{2}。

2. 等比数列とは

隣り合う2項の比が常に一定の数列を等比数列といいます。この一定の比を公比（こうひ）といい、rr で表します。

例：2,6,18,54,…2, 6, 18, 54, \ldots は公比 r=3r = 3 の等比数列です。

2.1. 等比数列の一般項

初項を aa、公比を rr とすると、第 nn 項（一般項）は次の式で表せます。

an=a⋅rn−1a_n = a \cdot r^{n-1}

例： 初項 a=5a = 5、公比 r=2r = 2 の等比数列の一般項は

an=5⋅2n−1a_n = 5 \cdot 2^{n-1}

2.2. 等比数列の和の公式

初項 aa、公比 rr、項数 nn の等比数列の和 SnS_n について

  • r≠1r \neq 1 のとき：
Sn=a(1−rn)1−r=a(rn−1)r−1S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}
  • r=1r = 1 のとき：すべての項が aa なので、Sn=naS_n = na

公式の導き方（r≠1r \neq 1 の場合）

Sn=a+ar+ar2+⋯+arn−1S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}

両辺を rr 倍すると

rSn=ar+ar2+⋯+arn−1+arnrS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + ar^n

引き算すると中間の項が消えて

(1−r)Sn=a−arn=a(1−rn)(1-r)S_n = a - ar^n = a(1 - r^n)

よって Sn=a(1−rn)1−rS_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}。

3. 例題

3.1. 例題1（等差数列）

問題： 等差数列 3,7,11,…3, 7, 11, \ldots の第 1010 項と、初項から第 1010 項までの和を求めよ。

解答：

初項 a=3a = 3、公差 d=4d = 4 なので

a10=3+(10−1)×4=3+36=39a_{10} = 3 + (10-1) \times 4 = 3 + 36 = 39

和の公式を使って

S10=10(3+39)2=10×422=210S_{10} = \frac{10(3 + 39)}{2} = \frac{10 \times 42}{2} = 210

3.2. 例題2（等比数列）

問題： 初項 22、公比 33 の等比数列について、第 55 項と初項から第 55 項までの和を求めよ。

解答：

a5=2×35−1=2×81=162a_5 = 2 \times 3^{5-1} = 2 \times 81 = 162 S5=2(35−1)3−1=2×2422=242S_5 = \frac{2(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{2 \times 242}{2} = 242

3.3. 例題3（応用：一般項を求める）

問題： 等差数列において、第 33 項が 1111、第 77 項が 2727 であるとき、初項と公差を求めよ。また、一般項を求めよ。

解答：

一般項の公式 an=a+(n−1)da_n = a + (n-1)d を用いると

{a+2d=11a+6d=27\begin{cases} a + 2d = 11 \\ a + 6d = 27 \end{cases}

引き算して 4d=164d = 16、よって d=4d = 4。

a+2×4=11a + 2 \times 4 = 11 より a=3a = 3。

an=3+(n−1)×4=4n−1a_n = 3 + (n-1) \times 4 = 4n - 1

4. 等差数列と等比数列の比較まとめ

等差数列 等比数列
定義 隣の差が一定（公差 dd） 隣の比が一定（公比 rr）
一般項 an=a+(n−1)da_n = a + (n-1)d an=arn−1a_n = ar^{n-1}
和（基本形） Sn=n(2a+(n−1)d)2S_n = \dfrac{n(2a+(n-1)d)}{2} Sn=a(rn−1)r−1S_n = \dfrac{a(r^n-1)}{r-1}（r≠1r \neq 1）

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6. クイズ

1. 初項 55、公差 33 の等差数列の第 88 項はどれか。

  • 答えを見る正解：2626 a8=5+(8−1)×3=5+21=26a_8 = 5 + (8-1) \times 3 = 5 + 21 = 26

2. 初項 11、公比 22 の等比数列で、初項から第 66 項までの和はいくらか。

  • 答えを見る正解：6363 S6=1⋅(26−1)2−1=64−1=63S_6 = \dfrac{1 \cdot (2^6 - 1)}{2 - 1} = 64 - 1 = 63

3. 等差数列 {an}\{a_n\} において a1=4, a5=20a_1 = 4,\ a_5 = 20 のとき、公差 dd を求めよ。

  • 答えを見る正解：d=4d = 4 a5=a1+4da_5 = a_1 + 4d より 20=4+4d20 = 4 + 4d、4d=164d = 16、d=4d = 4
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