標本調査と推定【母集団・標本・信頼区間】

統計的な推測は、データの一部（標本）から全体（母集団）の特徴を推し量る考え方です。数学Bでは、標本調査の基本から信頼区間を用いた推定まで学びます。現代社会で広く使われる手法であり、入試でも頻出のテーマです。

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1. 母集団と標本

1.1. 母集団（ぼしゅうだん）

調査や分析の対象となる集団全体を母集団といいます。

例： 日本の高校3年生全員、ある工場で製造されたネジ全数。

母集団の平均値を母平均（記号：$m$ または $\mu$）、標準偏差を母標準偏差（記号：$\sigma$）といいます。

1.2. 標本（ひょうほん）

母集団の一部として実際に取り出したものを標本といいます。標本を取り出す操作を標本抽出（またはサンプリング）といいます。

無作為抽出（ランダムサンプリング）： 母集団のすべての個体が等しい確率で選ばれるような抽出方法。偏りのない推測のために重要です。

標本のサイズ（個数）を標本の大きさ（記号：$n$）といいます。

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2. 標本平均とその分布

2.1. 標本平均

大きさ $n$ の標本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ の平均を標本平均といい、$\bar{X}$ で表します。

$$\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$$

2.2. 標本平均の期待値と標準偏差

母平均 $m$、母標準偏差 $\sigma$ の母集団から大きさ $n$ の標本を無作為抽出するとき、標本平均 $\bar{X}$ について次が成り立ちます。

$$E(\bar{X}) = m$$ $$\sigma(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

ポイント： 標本の大きさ $n$ が大きくなるほど、$\sigma(\bar{X})$ は小さくなります。つまり、多くのデータを集めるほど標本平均は母平均に近い値を取りやすくなります。

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3. 標本平均の正規分布への近似

3.1. 中心極限定理

母集団の分布がどのような形であっても、標本の大きさ $n$ が十分大きいとき、標本平均 $\bar{X}$ は正規分布に近づきます。

$$\bar{X} \sim N\!\left(m,\ \frac{\sigma^2}{n}\right) \quad \text{（近似的に）}$$

これを標準化（$z$ スコアへの変換）すると

$$Z = \frac{\bar{X} - m}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1) \quad \text{（近似的に）}$$

3.2. 正規分布の重要な確率

標準正規分布 $N(0,1)$ において、よく使う確率は次のとおりです。

$$P(-1.96 \leq Z \leq 1.96) \approx 0.95 \quad (95\%)$$ $$P(-2.58 \leq Z \leq 2.58) \approx 0.99 \quad (99\%)$$

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4. 信頼区間（区間推定）

4.1. 信頼区間とは

標本平均 $\bar{X}$ から母平均 $m$ を推定するとき、「この範囲に $m$ が含まれる」という区間を信頼区間といいます。

4.2. 95%信頼区間の求め方

母標準偏差 $\sigma$ が既知（またはnが大きく標本標準偏差で代用できる）の場合、母平均 $m$ の95%信頼区間は次の式で与えられます。

$$\bar{X} - 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq m \leq \bar{X} + 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

「95%信頼区間」の意味： 同じ操作（標本抽出 → 信頼区間の計算）を100回繰り返したとき、そのうち約95回は真の母平均 $m$ がその区間に含まれる、という意味です。「95%の確率で $m$ がこの区間にある」とは意味が違うことに注意しましょう。

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5. 例題

5.1. 例題1：信頼区間の計算

問題： ある高校の3年生の数学の得点（母標準偏差 $\sigma = 20$ 点とする）について、$100$ 人を無作為に抽出して調べたところ、標本平均は $\bar{X} = 68$ 点だった。母平均 $m$ の95%信頼区間を求めよ。

解答：

$n = 100$、$\sigma = 20$、$\bar{X} = 68$ を公式に代入します。

$$\bar{X} - 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 68 - 1.96 \times \frac{20}{\sqrt{100}} = 68 - 1.96 \times 2 = 68 - 3.92 = 64.08$$ $$\bar{X} + 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 68 + 3.92 = 71.92$$

よって、95%信頼区間は $\mathbf{64.08 \leq m \leq 71.92}$（点）。

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5.2. 例題2：標本の大きさと信頼区間の幅

問題： 例題1と同じ条件で、標本の大きさを $n = 400$ に増やした場合の95%信頼区間を求めよ。

解答：

$$1.96 \times \frac{20}{\sqrt{400}} = 1.96 \times \frac{20}{20} = 1.96$$

95%信頼区間：$68 - 1.96 \leq m \leq 68 + 1.96$、すなわち $\mathbf{66.04 \leq m \leq 69.96}$（点）。

比較： $n=100$ のときの区間幅は $71.92 - 64.08 = 7.84$ 点、$n=400$ のときは $69.96 - 66.04 = 3.92$ 点。標本を4倍にすると区間幅が半分になります（$1/\sqrt{4} = 1/2$）。

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5.3. 例題3：標本平均の期待値・標準偏差

問題： 母平均 $m = 50$、母標準偏差 $\sigma = 10$ の母集団から大きさ $n = 25$ の標本を無作為抽出するとき、標本平均 $\bar{X}$ の期待値と標準偏差を求めよ。

解答：

$$E(\bar{X}) = m = 50$$ $$\sigma(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$$

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6. まとめ

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7. 関連記事

• 仮説検定入門 — 信頼区間に続く統計的推測の次のテーマ

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8. クイズ

1. 母平均 $m = 60$、母標準偏差 $\sigma = 15$、標本の大きさ $n = 9$ のとき、標本平均 $\bar{X}$ の標準偏差はいくらか。

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  正解：$5$ $\sigma(\bar{X}) = \dfrac{15}{\sqrt{9}} = \dfrac{15}{3} = 5$

2. 95%信頼区間の計算で使う標準正規分布の値（$z$ 値）はいくらか。

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  正解：$1.96$ $P(-1.96 \leq Z \leq 1.96) \approx 0.95$ を利用します。

3. 標本の大きさを $n$ から $4n$ に増やすと、信頼区間の幅はどう変わるか。

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  正解：幅が $\dfrac{1}{2}$ になる。 幅は $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ に比例するので、$n$ が4倍になると $\sqrt{4n} = 2\sqrt{n}$ となり幅は半分になります。