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📐 数列の公式まとめ

「数列」で学ぶ公式をまとめました。各公式をタップすると解説記事にジャンプします。

等差数列と等比数列の一般項と和の公式

  • 1. 等差数列とは

    3, 7, 11, 15, 19, …3, \ 7, \ 11, \ 15, \ 19, \ \dots

  • 2. 等差数列の一般項

    an=a+(n−1)da_n = a + (n-1)d

  • 3. 等差数列の和の公式

    Sn=n2{2a+(n−1)d}=n(a1+an)2S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n-1)d\} = \frac{n(a_1+a_n)}{2}

  • 4. 等比数列とは

    2, 6, 18, 54, …2, \ 6, \ 18, \ 54, \ \dots

  • 5. 等比数列の一般項

    an=a rn−1a_n = a \, r^{n-1}

  • 6. 等比数列の和の公式

    Sn=a(rn−1)r−1S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}

等差数列と等比数列【一般項・和の公式】

  • 1.1. 等差数列の一般項

    an=a+(n−1)da_n = a + (n-1)d

  • 1.1. 等差数列の一般項

    an=3+(n−1)⋅4=4n−1a_n = 3 + (n-1) \cdot 4 = 4n - 1

  • 1.2. 等差数列の和の公式

    Sn=n(a+l)2S_n = \frac{n(a + l)}{2}

  • 1.2. 等差数列の和の公式

    Sn=n{2a+(n−1)d}2S_n = \frac{n\{2a + (n-1)d\}}{2}

  • 1.2. 等差数列の和の公式

    Sn=a+(a+d)+⋯+(l−d)+lSn=l+(l−d)+⋯+(a+d)+a\begin{aligned} S_n &= a + (a+d) + \cdots + (l-d) + l \\ S_n &= l + (l-d) + \cdots + (a+d) + a \end{aligned}

  • 2.1. 等比数列の一般項

    an=a⋅rn−1a_n = a \cdot r^{n-1}

  • 2.1. 等比数列の一般項

    an=5⋅2n−1a_n = 5 \cdot 2^{n-1}

  • 2.2. 等比数列の和の公式

    Sn=a(1−rn)1−r=a(rn−1)r−1S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}

  • 2.2. 等比数列の和の公式

    Sn=a+ar+ar2+⋯+arn−1S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}

  • 2.2. 等比数列の和の公式

    rSn=ar+ar2+⋯+arn−1+arnrS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + ar^n

  • 2.2. 等比数列の和の公式

    (1−r)Sn=a−arn=a(1−rn)(1-r)S_n = a - ar^n = a(1 - r^n)

Σの計算【シグマの公式・数列の和】

  • 1. Σ記号とは

    ∑k=1nak=a1+a2+a3+⋯+an\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n

  • 1. Σ記号とは

    ∑k=14k=1+2+3+4=10\sum_{k=1}^{4} k = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

  • 1. Σ記号とは

    ∑k=13k2=12+22+32=1+4+9=14\sum_{k=1}^{3} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14

  • 2. Σの性質

    ∑k=1ncak=c∑k=1nak\sum_{k=1}^{n} ca_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k

  • 2. Σの性質

    ∑k=1n(ak+bk)=∑k=1nak+∑k=1nbk\sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k

  • 2. Σの性質

    ∑k=1nc=nc\sum_{k=1}^{n} c = nc

  • 3.1. 公式1：自然数の和

    ∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}

  • 3.2. 公式2：自然数の2乗の和

    ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

  • 3.3. 公式3：自然数の3乗の和

    ∑k=1nk3={n(n+1)2}2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{ \frac{n(n+1)}{2} \right\}^2

漸化式の解き方と数学的帰納法をわかりやすく解説

  • 3. an+1=pan+qa_{n+1} = pa_n + qan+1​=pan​+q 型の漸化式の解き方

    an+1=pan+q(p≠1)a_{n+1} = pa_n + q \quad (p \neq 1)