等差数列と等比数列の一般項と和の公式

1. 等差数列とは

等差数列とは、隣り合う項の差が常に一定である数列のことです。この一定の差を公差といいます。

$$3, \ 7, \ 11, \ 15, \ 19, \ \dots$$

この数列は、隣どうしの差が常に $4$ なので、公差 $4$ の等差数列です。

2. 等差数列の一般項

初項 $a$、公差 $d$ の等差数列の第 $n$ 項(一般項 $a_n$)は、次の式で求められます。

$$a_n = a + (n-1)d$$

2.1. 例題1: 一般項を求める

初項 $3$、公差 $4$ の等差数列の第 $10$ 項を求めなさい。

$$a_{10} = 3 + (10-1)\times4 = 3 + 36 = 39$$

3. 等差数列の和の公式

初項 $a$、公差 $d$ の等差数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、次の式で求められます。

$$S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n-1)d\} = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

2つ目の式は「(初項+末項)×項数÷2」という形になっていて、等差数列の和が台形の面積のイメージで求められることを表しています。

3.1. 例題2: 和を求める

例題1の数列(初項 $3$、公差 $4$)の初項から第 $10$ 項までの和を求めなさい。

$$S_{10} = \frac{10}{2}\{2\times3 + (10-1)\times4\} = 5\times(6+36) = 5\times42 = 210$$

4. 等比数列とは

等比数列とは、隣り合う項の比が常に一定である数列のことです。この一定の比を公比といいます。

$$2, \ 6, \ 18, \ 54, \ \dots$$

この数列は、隣どうしの比が常に $3$ なので、公比 $3$ の等比数列です。

5. 等比数列の一般項

初項 $a$、公比 $r$ の等比数列の一般項は、次の式で求められます。

$$a_n = a \, r^{n-1}$$

5.1. 例題3: 等比数列の一般項

初項 $2$、公比 $3$ の等比数列の第 $5$ 項を求めなさい。

$$a_5 = 2 \times 3^{5-1} = 2 \times 81 = 162$$

6. 等比数列の和の公式

初項 $a$、公比 $r$($r \neq 1$)の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和は、次の式で求められます。

$$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$$

（本文中への画像挿入案: /images/math-b/suuretsu-ippankou-guraf.png、alt=「等差数列と等比数列の値の増え方の違いを示したグラフ」をこのセクションの下に配置すると、直線的に増える等差数列と、加速度的に増える等比数列の違いが伝わりやすくなります。)

6.1. 例題4: 等比数列の和

例題3の数列(初項 $2$、公比 $3$)の初項から第 $5$ 項までの和を求めなさい。

$$S_5 = \frac{2(3^5-1)}{3-1} = \frac{2\times(243-1)}{2} = 2\times121 = 242$$

数列の一般項や和が求められるようになると、漸化式の解き方 のように、より複雑な規則で定まる数列の問題にも取り組めるようになります。

7. クイズ

1. 初項 $5$、公差 $-2$ の等差数列の第 $8$ 項を求めなさい。

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     正解: $-9$。$a_8 = 5+(8-1)\times(-2) = 5-14=-9$。

2. 初項 $3$、公比 $2$ の等比数列の初項から第 $4$ 項までの和を求めなさい。

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     正解: $45$。$S_4 = \dfrac{3(2^4-1)}{2-1} = 3\times15=45$。