Σの計算【シグマの公式・数列の和】

数学Bの「数列」分野において、Σ（シグマ）記号は数列の和をコンパクトに表す非常に便利な記法です。Σの定義と基本公式を理解することで、複雑な数列の和も効率よく計算できるようになります。

1. Σ記号とは

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k$ は「 $k$ を $1$ から $n$ まで変化させたときの $a_k$ の総和」を表します。

\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n

読み方： 「 $k=1$ から $n$ までの $a_k$ の和」

具体例：

\sum_{k=1}^{4} k = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

\sum_{k=1}^{3} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14

$c$ を定数とするとき、以下の性質が成り立ちます。

性質1（定数倍）：

\sum_{k=1}^{n} ca_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k

性質2（和の分割）：

\sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k

性質3（定数の和）：

\sum_{k=1}^{n} c = nc

以下の3つの公式は最重要です。必ず覚えておきましょう。

\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}

導き方： $S = 1 + 2 + \cdots + n$ と $S = n + (n-1) + \cdots + 1$ を足すと $2S = n(n+1)$ 。

\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{ \frac{n(n+1)}{2} \right\}^2

この公式3は注目に値します。 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2$ が成り立っています。

問題： $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k$ と $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k^2$ を求めよ。

解答：

\sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 \times 11}{2} = 55

\sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385

問題： $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 2k - 1)$ を $n$ の式で表せ。

解答：

Σの性質（和の分割・定数倍）を使って

\sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 2k - 1) = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1

各公式を代入すると

= 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n

= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1) - n

= n \left\{ \frac{(n+1)(2n+1)}{2} + (n+1) - 1 \right\}

= n \cdot \frac{(n+1)(2n+1) + 2(n+1) - 2}{2}

= n \cdot \frac{2n^2 + 3n + 1 + 2n + 2 - 2}{2}

= n \cdot \frac{2n^2 + 5n + 1}{2}

= \frac{n(2n^2 + 5n + 1)}{2}

問題： $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k-1)$ を求めよ（ $1$ から $n$ までの奇数の和）。

解答：

\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = 2\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n = n(n+1) - n = n^2

確認： $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2$ は有名な公式です。例えば $n=4$ のとき $1+3+5+7=16=4^2$ で確認できます。

問題： $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$ を求めよ。

解答：

部分分数分解を使います。

\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}

よって

\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)

これは望遠鏡和（テレスコーピング）の形で、中間の項が消えて

= \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}

$k$ はシグマ内だけで有効なダミー変数（束縛変数）。外では使えません。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 \neq \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2$ に注意（公式3は3乗の場合のみ成立）。
問題によっては添字の開始が $k=0$ や $k=2$ になる場合もあります。その場合は公式を適用する前に添字を調整しましょう。

1. $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k$ の値はいくらか。

2. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 4$ を $n$ の式で表せ。

答えを見る
正解： $4n$ $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c = nc$ より $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 4 = 4n$

3. $\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k^2$ の値はいくらか。